初中線段相等、比例關系證明方法總結計劃x
時間：2020-11-14 16:25:21 來源：勤學考試網 本文已影響 人 
平面幾何中線段相等的證明幾種方法
平面幾何中線段相等的證明看似簡單， 但方法不當也會帶來麻煩， 特別是在有限的兩個小時考試中。恰當選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。
一、利用全等三角形的性質證明線段相等
這種方法很普遍， 如果所證兩條線段分別在不同的三角形中， 它們所在三角形看似全等，或者，通過簡單處理 ( 添加輔助線 ) ，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。
［例 1］如圖，C是線段 AB上一點， △ACD和△ BCE是等邊三角形。
求證：AE=BD。
注 : 如果有兩個形狀相同的圖形（一般是等腰三角形、等邊三角形或正方形），那么可能要用到旋轉全等或相似
［例 2］如圖，已知△ ABC中， AB=AC，點 E 在 AB上，點 F 在 AC的延長線上，且BE=CF，EF 與 BC交于 D，求證： ED=DF。
注：添加輔助線，構造全等三角形
二、利用等腰三角形的判定（等角對等邊）證明線段相等
如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時難以證明，可以考慮用此法。
［例 1］ 如圖，已知在△ ABC中， AD是 BC邊上的中線， E 是 AD上的一點，且BE=AC，延長 BE交 AC于 F。求證： AF=EF。
注：輔助線是中線倍長法
［例 2］如圖，已知△ ABC中， AB=AC，DF⊥BC于 F，DF與 AC交于 E，與 BA的延長線交于 D，求證： AD=AE。
三、利用平行四邊形的性質證明線段相等
如果所證兩線段在一直線上或看似平行，用上面的方法不易，可以考慮此法。
［例 1］如圖，△ ABC中，∠ C=90°，∠ BAC=30°，分別以 AB、 AC為邊在△ ABC 的外側作正△ ABE和正△ ACD， DE與 AB交于 F，
求證： EF=FD。（輔助線是過 E 作 EG⊥AB，連接 DG）
注：構造平行四邊形
［例 2］如圖，AD是△ ABC的中線，過 DC上任意一點 F 作 EG
求證：四邊形 DEFG為
平行四邊形 .
五、利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明線段相等。
如果所證兩線段所在的圖形能構成直角三角形， 并且可能構成斜邊及斜邊上的中線，用上面方法一時證不出來，可以考慮此法。
［例］ 1 已知：在△ ABC中， M是 BC的中點， CE⊥ AB， BF⊥AC。
求證： EM＝FM
A
E
F
B M C
［例］ 2 如圖，正方形 ABCD中， E、 F 分別為 AB、 BC的中點， EC和 DF相交于 G，連接 AG，求證： AG=AD。
六、利用 等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊
如果所證線段在一條直線上相鄰，且在一個等腰三角形中，不妨用此法
［例］如圖，△ ABC中，AD是中線， AE是角平分線， CF⊥AE于 F，AB=5，AC=3，
則 DF的長為 ______．
七、線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等
如果兩條線段在一個三角形中證明相等，且第三邊有垂直或中點，用此法
［例］ 已知如圖，在△ ABC中， BC=8， AB 的中垂線交 BC于 D， AC的中垂線交 BC與 E，則
ADE的周長等于 _________ ．
注： 1、補充 2016 年安徽中考解答題第 23 題第 2 小問是中垂線的性質
、三角形三條中垂線交于一點
八、角平分線上任一點到角的兩邊距離相等
適用于有角平分線和垂直的圖形
［例］ 如圖 , ∠AOP=∠BOP=15° ,PC∥ OA交 OB于 C,PD⊥OA垂足
為 D,若 PC=4,則 PD= .
注： 1、補充 2013 年安徽省中考解答題第 23 題第 3 小問
、三角形三條角平分線交于一點九、圓的性質和定理
同圓（或等圓）中半徑相等，等弧所對的弦或與弦心距相等的兩弦或等圓心角、
圓周角所對的弦相等， 圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等， 圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等
［例］ 1 如圖，⊙ O中，弦 AB與 CD相交于點 E，且 AB=CD. 求證： AE=CE.
注：輔助線 AC不一定經過 O
A
E O
C D B
［例］ 2 如圖所示， AB＝AC，AB為⊙ O的直徑， AC、BC分別交⊙ O于 E、D，連結
ED、BE．試判斷 DE與 BD是否相等，并說明理由；
十、等積法
面積相等，等底或等高可以轉化
［例］ 如圖 , 在平行四邊形 ABCD中,E 是 CD上一點 ,F 是 AD上一點 , 且 CF=AE,AE
交 CF于點 O.求證： OB平分∠ AOC.
十一、長度相等：測量法
適用于選擇題或填空題，解答題必須求出其具體長度或都是某條線段的倍數
十二、等量轉化： 等于同一線段的兩條線段相等以上都可以用
證明線段的比例式或等積式的方法
證明線段的比例式或等積式成立， 往往要添加輔助線， 以構造一對或多對相似三角形。
一、 添加平行線
（ 1） 添加三角形內的平行線段
添加的方法是過端點或內分點做平行線， 利用“平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊或其延長線相交的直線， 所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對
應成比例”的性質證明線段成比例。在幾何命題中，如果出現一組（或兩組）相比線段重疊在一條直線上時，可考慮添加三角形內的平行線。
［例］ 1、如圖，已知 AD是△ ABC的外角平分線， AD與 BC的延長線交于 D。
求證： BD:CD=AB:AC
F
A
A
D
F
B
C
DE
C
B
［例］ 2、如圖，點 D 在△ ABC的 AC邊上，且 AD=BE。求證 : EF
AC .
FD
BC
［例］ 3、如圖，已知 BD:DC=5:3,E 為 AD的中點，求 BE:EF的值 .
A
F
E
C
B D
(2) 添加三角形外的平行線
添加的方法是過端點作平行線
［例］ 1、如圖，已知在△ ABC中， AD平分
BAC ，求證： AB
BD .
AC
DC
A
A
E
F
B D C
B D C
［例］ 3、已知△ ABC中， AD為中線， E、F 分別在 AB、AC上，且 AE=AF,EF交 AD
于 G，求證： GE AC . （過 B、C分別作 EF的平行線）
GF AB
二、利用三角形相似的性質
［例］ 1、如圖，已知△ ABC中， ACB 900 ，D
F
是 AB的中點，過 D 作 AB的垂線交 AC于 E，交 BC 的延長線于 F，求證： DC 2=DE·DF
C
E
A D
B
A
F E
G
C
B D
H
［例］ 2、如圖，在△ ABC中， AD、BE分別是 BC、AC邊上的高，過 D作 AB邊上的垂線交 AB于 F，交 BE于 G，交 AC的延長線于 H.求證： DF 2=GF·HF
三、利用面積比求比例關系
（ 1）相似三角形性質面積比等于相似比的平方
［例］如圖 1，點 C 將線段 AB 分成兩部分，如果 AC
BC ，那么稱點 C 為線段
AB
AC
AB 的黃金分割點。某數學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯想
到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為 S
的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為 S1
、 S2 ，如果 S1
S2
，那么稱
S
S1
直線為該圖形的黃金分割線 .
（ 1）如圖 2，在△ ABC 中， A 36°， AB
AC ， C 的平分線交 AB 于
點 D ，請問點 D 是否是 AB 邊上的黃金分割點，并證明你的結論；
2）若△ ABC 在（ 1）的條件下，如圖（ 3），請問直線 CD 是不是△ ABC 的黃金分割線，并證明你的結論；
（ 2） 非相似三角形用等底或等高轉化
［例］ 如圖△ ABC中 D為 BC上任一點， E 為 AD或延長線上一點。
（3）S△ABE
BD
求 證 :
=
S△ ACE
CD
S
(2)
S
ABC AD
EBC ED
A
E
C
B D
四、利用長度關系求比例
