2023年度高一數學教案方差優秀3篇
時間：2024-03-21 12:24:04 來源：勤學考試網 本文已影響 人 
高一數學教案方差優秀數學教案-方差第一課時素質教育目標(一)知識教學點使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數據的方差與標準差。(二)能力訓練點1.培養學下面是小編為大家整理的高一數學教案方差優秀3篇,供大家參考。
高一數學教案方差優秀篇1
數學教案-方差
第一課時
素質教育目標
(一)知識教學點
使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數據的方差與標準差。
(二)能力訓練點
1.培養學生的計算能力。
2.培養學生觀察問題、分析問題的能力，培養學生的發散思維能力。
(三)德育滲透點
1.培養學生認真、耐心、細致的學習態度和學習習慣。
2.滲透數學來源于實踐，又反過來作用于實踐的觀點。
(四)美育滲透點
通過本節課的教學，滲透了數學知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發學生對美好事物的追求，岣哐？STRONG>數學美的鑒賞力。
重點·難點·疑點及解決辦法
1.教學重點：方差概念。
2.教學難點 ：方差概念。
3.教學疑點：學生不易理解為什么要用方差去描述一組數據的波動大小，為什么不可以用各數據與其平均數的差的來和來衡量這組數據的波動大小呢？為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而將其平方呢？對這些問題教師在剖析方差定義時要講清楚。
4.解決辦法：教師要講清方差，標準差的意義，即它們都是用來描述一組數據波動情況的特征數，常用來比較兩組數據的波動大小，我們所研究的僅是這兩組數據的個數相等，平均數相等或比較接近時的情況。
教學步驟
(一)明確目標
前面我們學習了平均數、眾數及中位數，它們都是描述一組數據的集中趨勢的量，這節課我們將進一步學習衡量樣本(或一組數據)和總體的另一類特征數——方差、標準差及其計算。
這種開門見山式引入課題，能迅速將學生的注意力集中起來，進入新課講解。
(二)整體感知
對于一組數據來說，我們除了關心它的集中趨勢以外，還關心它的波動大小。衡量這個波動大小的最常用的特征數，就是方差和標準差。
(三)教學過程
1.請同學們看下面的問題：(用幻燈出示)
兩臺機床同時生產直徑是40毫米的零件，為了檢驗產品質量，從產品中各抽出10件進行測量，結果如下(單位：毫米)
機床甲
40
39.8
40.1
40.2
39.9
40
40.2
39.8
40.2
39.8
機床乙
40
40
39.9
40
39.9
40.2
40
40.1
40
39.9
上面表中的數據如圖所示
教師引導學生觀察表格中的數據和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，哪個機床做得好呢？
對于這個問題，學生會馬上想到計算它們的平均數。教師可把學生分成兩級分別計算這兩組數據的平均數。(請兩名同學到黑板計算)
計算的結果說明兩組數據的平均數都等于規定尺寸40毫米。這時教師引導學生思考，這能說明兩個機床做的一樣好嗎？不能！我們再觀察上圖(給學生充分的時間觀察，找出左右兩圖的區別)從圖中看到，機床甲生產的零件的直徑與規定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多；機床乙生產的零件的直徑與規定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近。這
說明，在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，機床乙比機床甲要好。
教師說明：從上面看到，對于一組數據，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數的大小).
通過引例的學習，使學生理解為什么要研究數據波動的大小，為提出方差概念做好了準
備。
2.方差概念
教師講解，為了描述一組數據的波動大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個數據與這組數據的平均數的差的絕對值，再取其平均數，用這個平均數來衡量這組數據的波動大小，通常，采用的是下面的做法：
設在一組數據 中，各數據與它們的平均數 的差的平方分別是 ，那么我們用它們的平均數，即用
③
來衡量這組數據的`波動大小，并把它叫做這組數據的方差。一組數據方差越大，說明這組數據波動越大。教師要剖析公式中每一個元素的意義，以便學生理解和掌握。
在學生理解方差概念時，可能會提出疑問：為什么要這樣定義方差？(教師說明，在表示各數據與其平均數的倔離程度時，為了防止正偏差與負偏差的相互抵消)為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而要將它們平方？(教師說明，這主要是因為在很多問題里，含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數據波動大小的“功能”上，方差更強些)為什么要除以數據個數n?(是為了消除數據個數的影響).
在學生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計算機床甲、乙兩組數據的方差，再根據理論說明哪個機床做得更好。
教師范解
從 知道，機床甲生產的10個零件直徑比機床乙生產的10個零件直徑波動要大。
這樣做使學生深刻體會到數學來源于實踐，又反過來作用實踐，不僅使學生對學習數學產生濃厚的興趣，而且培養了學生應用數學的意識。
3.例1 (用幻燈出示)已知兩組數據：
甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分別計算這兩組數據的方差。
讓學生自己動手計算，求平均數時激發學生用簡化公式計算，找一名好學生到黑板計算。
解：根據公式②(取 )，有
從 知道，乙組數據比甲組數據波動大。
4.標準差概念
在有些情況下，需要用到方差的算術平方根
④
并把它叫做這組數據的標準差。它也是一個用來衡量一組數據的波動大小的重要的量。
教師引導學生分析方差與標準差的區別與聯系：
計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數據一致，有時用它比較方便。
課堂練習 教材P165中(1)、(2)
(四)總結、擴展
知識小結：通過這節課的學習，使我們知道了對于一組數據，有時只知道它的平均數還不夠，還需要知道它的波動大??；而描述一組數據的波動大小的量不止一種，最常用的是方差和標準差。方差與標準差這兩個概念既有聯系又有區別。
方法小結：求一組數據方差的方法；先求平均數，再利用③求方差，求一組數據標準差的方法：先求這組數據的方差，然后再求方差的算術平方根。
布置作業
教材P173中1，2(1)(2)
板書設計
高一數學教案方差優秀篇2
平方差公式
教學建議
一、知識結構
二、重點、難點分析
本節教學的重點是掌握公式的結構特征及正確運用公式。難點是公式推導的理解及字母的廣泛含義。平方差公式是進一步學習完全平方公式、進行相關代數運算與變形的重要知識基礎。
1.平方差公式是由多項式乘法直接計算得出的：
與一般式多項式的乘法一樣，積的項數是多項式項數的積，即四項。合并同類項后僅得兩項。
2.這一公式的結構特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方差。公式中的字母可以表示具體的數(正數和負數)，也可以表示單項式或多項式等代數式。
只要符合公式的結構特征，就可運用這一公式。例如
在運用公式的過程中，有時需要變形，例如，變形為，兩個數就可以看清楚了。
3.關于平方差公式的特征，在學習時應注意：
(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩上二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數。
(2)右邊是乘式中兩項的平方差(相同項的平方減去相反項的平方).
(3)公式中的和可以是具體數，也可以是單項式或多項式。
(4)對于形如兩數和與這兩數差相乘，就可以運用上述公式來計算。
三、教法建議
1.可以將“兩個二項式相乘，積可能有幾項”的問題作為課題引入，目的`是激發學生的學習興趣，使學生能在兩個二項式相乘其積可能為四項、三項、兩項中找出積為兩項的特征，上升到一定的理論認識，加以實踐檢驗，從而培養學生觀察、概括的能力。
2.通過學生自己的試算、觀察、發現、總結、歸納，得出為什么有的兩個二項式相乘，其積為兩項，因為其中兩項是兩個數的平方差，而另兩項恰是互為相反數，合并同類項時為零，即
(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2.
這樣得出平方差公式，并且把這類乘法的實質講清楚了。
3.通過例題、練習與小結，教會學生如何正確應用平方差公式。這里特別要求學生注意公式的結構，教師可以用對應思想來加強對公式結構的理解和訓練，如計算(1+2x)(1-2x)，
(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2
↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↑
(a + b)(a - b)=a2- b2.
這樣，學生就能正確應用公式進行計算，不容易出差錯。
另外，在計算中不一定用一種模式刻板地應用公式，可以結合以前學過的運算法則，經過變形后靈活應用公式，培養學生解題的靈活性。
教學目標
1.使學生理解和掌握平方差公式，并會用公式進行計算；
2.注意培養學生分析、綜合和抽象、概括以及運算能力。
教學重點和難點
重點：平方差公式的應用。
難點：用公式的結構特征判斷題目能否使用公式。
教學過程 設計
一、師生共同研究平方差公式
我們已經學過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應該有幾項？合并同類項以后，積可能會是三項嗎？積可能是二項嗎？請舉出例子。
讓學生動腦、動筆進行探討，并發表自己的見解。教師根據學生的回答，引導學生進一步思考：
兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式？為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢？而它們的積又有什么特征？
(當乘式是兩個數之和以及這兩個數之差相乘時，積是二項式。這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現互為相反數的兩項，合并這兩項的結果為零，于是就剩下兩項了。而它們的積等于乘式中這兩個數的平方差)
繼而指出，在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算。以后經常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式。
在此基礎上，讓學生用語言敘述公式。
二、運用舉例 變式練習
例1 計算(1+2x)(1-2x).
解：(1+2x)(1-2x)
=12-(2x)2
=1-4x2.
教師引導學生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學生說出本題中a，b分別表示什么。
例2 計算(b2+2a3)(2a3-b2).
解：(b2+2a3)(2a3-b2)
=(2a3+b2)(2a3-b2)
=(2a3)2-(b2)2
=4a6-b4.
教師引導學生發現，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進行計算。
課堂練習
運用平方差公式計算：
(l)(x+a)(x-a); (2)(m+n)(m-n);
(3)(a+3b)(a-3b); (4)(1-5y)(l+5y).
例3 計算(-4a-1)(-4a+1).
讓學生在練習本上計算，教師巡視學生解題情況，讓采用不同解法的兩個學生進行板演。
解法1：(-4a-1)(-4a+1)
=[-(4a+l)][-(4a-l)]
=(4a+1)(4a-l)
=(4a)2-l2
=16a2-1.
解法2：(-4a-l)(-4a+l)
=(-4a)2-l
=16a2-1.
根據學生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的辦法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數的和與這兩數的差相乘的形式，應用平方差公式，寫出結果。解法2把-4a看成一個數，把1看成另一個數，直接寫出(-4a)2-l2后得出結果。采用解法2的同學比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質，運算簡捷。因此，我們在計算中，先要分析題目的數字特征，然后正確應用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案。
課堂練習
1.口答下列各題：
(l)(-a+b)(a+b); (2)(a-b)(b+a);
(3)(-a-b)(-a+b); (4)(a-b)(-a-b).
2.計算下列各題：
(1)(4x-5y)(4x+5y); (2)(-2x2+5)(-2x2-5);
教師巡視學生練習情況，請不同解法的學生，或發生錯誤的學生板演，教師和學生一起分析解法。
三、小結
1.什么是平方差公式？
2.運用公式要注意什么？
(1)要符合公式特征才能運用平方差公式；
(2)有些式子表面不能應用公式，但實質能應用公式，要注意變形。
四、作業
1.運用平方差公式計算：
(l)(x+2y)(x-2y); (2)(2a-3b)(3b+2a);
(3)(-1+3x)(-1-3x); (4)(-2b-5)(2b-5);
(5)(2x3+15)(2x3-15); (6)(0.3x-0.l)(0.3x+l);
2.計算：
(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y); (2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b);
(3)x(x-3)-(x+7)(x-7); (4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4).
高一數學教案方差優秀篇3
一、教學目的
1.使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數據的方差與標準差。
2.使學生了解樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義。
二、教學重點、難點
重點：方差、標準差、樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義。
難點：樣本方差、樣本標準差的計算。
三、教學過程
復習提問
計算一組數據的平均數有哪些方法？
引入新課
在很多實際問題中，只知道一組數據的平均數是不夠的，還需要知道這組數據的波動大小。如何了解數據的波動大??？這正是我們要解決的問題。
新課
引例 兩臺機床同時生產直徑是40毫米的零件。為了檢驗產品質量，從產品中抽出10件進行測量，結果如下(單位：毫米)：
表中數據表成如下形式：
可在此處讓學生用公式②分別計算這兩組數據的平均數(還可提問學生a取什么值最好，這樣學生能在教師的啟發下得到a=40最合適).當學生算出如下平均數：
讓學生思考，兩組數據的平均數都等于規定尺寸40毫米時，甲、乙兩機床性能是否都一樣好？提出問題讓學生議議后，再引導學生看圖1，讓學生認識到“機床甲生產的零件的直徑與規定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多；機床乙生產的零件的直徑與規定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近?！边@說明，在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，機床乙比機床甲要好。
這反映出，對一組數據，除需要了解它們的平均水平以外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數的大小).
在此處要告訴學生：描述一組數據的波動大小，可以采用不止一種辦法。本課介紹“方差”即是一種方法。即：
來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差。
要強調“一組數據方差越大，說明這組數據波動越大”。條件許可時，還可介紹③式可表示為：
接下來可以請兩個學生計算引例中機床甲、乙兩組數據的方差。
從0.026>0.008可以比較出，機床甲生產的10個零件直徑比機床乙生產的10個零件直徑波動要大。(接下來教師再給出如下例題。)
例1 已知兩組數據：
分別計算這兩組數據的方差。
講此例后，要強調求解步驟為：
(1)求平均數；(2)求方差；(3)比較方差得出結論。
此后接前面問題說，用來衡量一組數據的波動的方法還可用一組數據的標準差，即
公式④(即標準差)也是用來衡量一組數據波動大小的重要的量。
在本節引例中，兩組數據的標準差，可讓學生算一下，得出：
說明：計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數據一致，有時用它比較方便。
小結
1.本課學了計算一組數據的方差的公式③.
2.本課在方差的基礎上又學了計算一組數據的標準差的公式④.
練習：選用課本練習題。
作業 ：選用課本習題。
四、教學注意問題
要注意通過例題講好求方差題目的解題格式。
